🔗 Copules

Le théorème de Sklar stipule que toute distribution conjointe multivariée peut être exprimée en termes de marginales univariées et d'une copule qui capture la structure de dépendance. Inversement, toute copule combinée à des marginales valides donne une distribution conjointe valide. Ce résultat puissant permet de modéliser et d'estimer séparément les distributions marginales et les dépendances.

Les familles de copules courantes incluent la copule gaussienne (qui correspond aux corrélations linéaires), la copule de Clayton (qui capture la dépendance de queue inférieure), la copule de Gumbel (dépendance de queue supérieure) et la copule de Frank (dépendance symétrique). Mes recherches ont exploré l'utilisation de différentes familles de copules dans les applications d'apprentissage automatique et de calcul évolutionnaire.

Recherche sur l'utilisation de copules bivariées pour modéliser les dépendances statistiques par paires dans des ensembles de données multivariés. Développement de méthodes pour sélectionner la meilleure famille de copules et estimer ses paramètres à partir de données, incluant des approches paramétriques (maximum de vraisemblance) et basées sur les rangs (tau de Kendall, rho de Spearman).

Les copules vine (constructions de copules par paires) étendent les copules bivariées au cadre multivarié en décomposant la densité conjointe en un produit de copules bivariées organisées dans une séquence d'arbres appelée vine régulière (R-vine). Cela fournit une classe très flexible de distributions multivariées capables de capturer des dépendances asymétriques et de queue qui sont hors de portée des modèles gaussiens multivariés.

Développement d'algorithmes pour l'apprentissage de la structure de graphe des copules vine régulières à partir de données de dépendance. Le problème d'apprentissage de structure consiste à trouver la séquence d'arbres qui capture le mieux les dépendances statistiques dans les données. Recherche sur des algorithmes efficaces passant à l'échelle pour des ensembles de données de grande dimension et l'application de l'apprentissage de structure de copules vine au sein de l'optimisation évolutionnaire.

Recherche sur des cas particuliers de copules vine : les C-vines (vines canoniques) et les D-vines (vines dessinables), qui imposent des contraintes structurées sur la séquence d'arbres. Ces structures vine contraintes réduisent le nombre de paramètres et fournissent des modèles de dépendance interprétables au prix d'une flexibilité réduite. Analyse de la pertinence des structures C-vine et D-vine pour les applications d'apprentissage automatique.

Développement d'algorithmes de classification basés sur les modèles de copules vine. En ajustant un modèle de copule vine distinct pour chaque classe et en utilisant les densités conditionnelles de classe apprises pour la classification bayésienne, il est possible de capturer des dépendances non gaussiennes complexes dans les caractéristiques sans formuler d'hypothèses paramétriques sur la distribution des caractéristiques.

Application des classifieurs à copules vine aux problèmes de télédétection, incluant la détection de dunes de sable sur Mars à partir de l'imagerie orbitale. L'approche surpasse les classifieurs standards basés sur le modèle gaussien pour ces tâches car les distributions des caractéristiques spectrales sont non gaussiennes et présentent des dépendances multivariées complexes.

Développement d'algorithmes d'estimation de distribution qui utilisent des fonctions copules comme modèle probabiliste dans la boucle EDA. Les EDA à copules séparent la modélisation des distributions marginales de chaque variable de la modélisation de leur structure de dépendance, offrant une plus grande flexibilité que les EDA gaussiens standard. Recherche sur l'influence des différentes familles de copules et structures vine sur la performance des EDA sur des problèmes de benchmark continus.

Implémentation et analyse des EDA à copules vine qui utilisent des copules vine régulières comme modèle probabiliste pour les EDA continus. Recherche sur l'influence de la qualité de la structure vine apprise sur l'efficacité de la recherche évolutionnaire, et sur les méthodes pour équilibrer la précision et le coût computationnel de l'apprentissage de structure vine au sein de la boucle EDA.

Application de méthodes basées sur les copules à l'estimation de paramètres pour des équations différentielles stochastiques modélisant des actifs financiers et des processus physiques. Les copules fournissent un cadre flexible pour modéliser la dynamique conjointe de plusieurs séries temporelles corrélées, capturant des dépendances que des modèles plus simples ignorent.

• Carrera D, Santana R and Lozano JA (2019). Detection of sand dunes on Mars using a regular vine-based classification approach. Knowledge-Based Systems.
• Carrera D, Santana R and Lozano JA (2018). The Relationship Between Graphical Representations of Regular Vine Copulas and Polytrees. PRICAI 2018.
• Carrera D, Santana R and Lozano JA (2016). Vine copula classifiers for the mind reading problem. Progress in Artificial Intelligence.
• Cheriet A and Santana R (2018). Modeling dependencies between decision variables and objectives with copula models. GECCO 2018.
• Cuesta-Infante A, Santana R, Hidalgo JI, Bielza C and Larrañaga P (2010). Bivariate empirical and n-variate Archimedean copulas in estimation of distribution algorithms. CEC 2010.
• Arenas ZG, Jimenez JC, Lozada-Chang L-V and Santana R (2021). Estimation of distribution algorithms for the computation of innovation estimators of diffusion processes. Mathematics and Computers in Simulation.